Diketahui suku pertama suatu barisan aritmatika adalah 30

Diketahui suku pertama suatu barisan aritmatika adalah 30. Angka 30 ini menjadi titik awal perjalanan kita untuk memahami konsep barisan aritmatika, sebuah urutan angka yang memiliki selisih tetap antara setiap dua suku berurutan. Konsep ini, sekilas sederhana, ternyata memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang, dari perhitungan keuangan hingga perencanaan proyek konstruksi. Mari kita telusuri lebih dalam dunia barisan aritmatika, dimulai dari angka 30 yang menjadi kunci pemahaman kita.

Pemahaman mendalam tentang barisan aritmatika, khususnya dengan mengetahui suku pertamanya, membuka pintu untuk menghitung suku-suku selanjutnya, menentukan beda antar suku, dan bahkan menghitung jumlah dari sejumlah suku tertentu. Dengan memahami rumus dan sifat-sifatnya, kita dapat menyelesaikan berbagai permasalahan matematika yang berkaitan dengan pola berulang dan perkembangan yang konsisten.

Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika merupakan salah satu konsep dasar dalam matematika yang berkaitan dengan urutan angka yang memiliki pola tertentu. Memahami barisan aritmatika penting karena penerapannya yang luas, mulai dari perhitungan sederhana hingga pemecahan masalah yang kompleks dalam berbagai bidang, seperti keuangan, fisika, dan ilmu komputer. Artikel ini akan membahas secara rinci pengertian, sifat, dan perbedaannya dengan barisan geometri.

Pengertian Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika didefinisikan sebagai suatu barisan bilangan yang memiliki selisih tetap antara setiap dua suku yang berurutan. Selisih tetap ini disebut beda, yang biasanya dilambangkan dengan huruf b. Dengan kata lain, setiap suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan beda ( b) pada suku sebelumnya. Suku pertama dari barisan aritmatika seringkali dilambangkan dengan a₁.

Sifat-Sifat Barisan Aritmatika

Beberapa sifat utama yang dimiliki oleh barisan aritmatika antara lain:

• Selisih antara dua suku berurutan selalu konstan (beda).
• Suku ke- n ( a_n) dapat dihitung dengan rumus: a_n = a ₁ + (n-1)b , di mana a₁ adalah suku pertama, n adalah nomor suku, dan b adalah beda.
• Jumlah n suku pertama ( S_n) dapat dihitung dengan rumus: S_n = n/2 (2a ₁ + (n-1)b) atau S_n = n/2 (a ₁ + a _n) .

Contoh Barisan Aritmatika

Selain barisan aritmatika yang disebutkan dalam soal (yang dimulai dari 30), contoh lain barisan aritmatika adalah 2, 5, 8, 11, 14, … Pada barisan ini, beda ( b) adalah 3, dan suku pertama ( a₁) adalah 2.

Perbedaan Barisan Aritmatika dan Barisan Geometri

Berikut tabel yang membandingkan barisan aritmatika dan barisan geometri:

Ilustrasi Perbedaan Barisan Aritmatika dan Barisan Geometri

Perbedaan mendasar antara barisan aritmatika dan geometri terletak pada pola pertumbuhannya. Barisan aritmatika menunjukkan pertumbuhan linier, di mana setiap suku bertambah dengan nilai konstan (beda). Hal ini dapat divisualisasikan sebagai garis lurus pada grafik. Sebaliknya, barisan geometri menunjukkan pertumbuhan eksponensial, di mana setiap suku dikalikan dengan nilai konstan (rasio).

Visualisasinya akan berupa kurva yang menanjak dengan cepat. Rumus suku ke-n pun mencerminkan perbedaan ini: barisan aritmatika menggunakan penjumlahan (mencerminkan pertumbuhan linier), sementara barisan geometri menggunakan perkalian (mencerminkan pertumbuhan eksponensial).

Menentukan Suku ke-n Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika merupakan barisan bilangan yang memiliki selisih tetap antara dua suku berurutan. Selisih tetap ini disebut beda (b). Mengetahui suku pertama dan beda dari suatu barisan aritmatika memungkinkan kita untuk menentukan suku ke-n (a _n) dengan mudah. Kemampuan ini sangat berguna dalam berbagai aplikasi, mulai dari perhitungan keuangan hingga peramalan tren.

Rumus umum untuk menentukan suku ke-n dalam barisan aritmatika memberikan cara sistematis untuk menghitung nilai suku manapun tanpa harus menghitung semua suku sebelumnya. Pemahaman tentang rumus ini sangat penting untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika yang berkaitan dengan barisan aritmatika.

Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika

Rumus umum untuk menentukan suku ke-n (a _n) dari suatu barisan aritmatika adalah:

a_n = a ₁ + (n-1)b

di mana:

• a _n adalah suku ke-n
• a ₁ adalah suku pertama
• n adalah nomor urut suku
• b adalah beda (selisih antara dua suku berurutan)

Rumus ini didapatkan dari pola yang konsisten dalam barisan aritmatika. Setiap suku berikutnya diperoleh dengan menambahkan beda pada suku sebelumnya. Dengan demikian, suku ke-n dapat dihitung langsung menggunakan rumus di atas tanpa perlu menghitung semua suku sebelumnya secara manual.

Penerapan Rumus Suku ke-n dengan Beda Berbeda

Berikut beberapa contoh penerapan rumus suku ke-n dengan nilai beda yang berbeda:

1. Barisan aritmatika dengan a₁ = 2 dan b = 3: Suku ke-5 (a ₅) adalah 2 + (5-1)3 = 14. Suku ke-10 (a ₁₀) adalah 2 + (10-1)3 = 29.
2. Barisan aritmatika dengan a ₁ = -5 dan b = 2: Suku ke-5 (a ₅) adalah -5 + (5-1)2 = 3. Suku ke-10 (a ₁₀) adalah -5 + (10-1)2 = 13.
3. Barisan aritmatika dengan a ₁ = 10 dan b = -1: Suku ke-5 (a ₅) adalah 10 + (5-1)(-1) = 6. Suku ke-10 (a ₁₀) adalah 10 + (10-1)(-1) = 1.

Contoh-contoh di atas menunjukkan fleksibilitas rumus dalam menghitung suku ke-n untuk berbagai jenis barisan aritmatika, terlepas dari nilai suku pertama dan beda yang digunakan.

Menentukan Suku ke-n dengan Suku Pertama dan Beda yang Diketahui

Langkah-langkah menentukan suku ke-n jika diketahui suku pertama (a ₁) dan beda (b) adalah sebagai berikut:

1. Identifikasi nilai a₁ dan b dari barisan aritmatika.
2. Tentukan nilai n (nomor urut suku yang ingin dicari).
3. Substitusikan nilai a ₁, b, dan n ke dalam rumus a _n = a ₁ + (n-1)b.
4. Hitung nilai a _n.

Proses ini sederhana dan langsung, memungkinkan perhitungan cepat dan akurat untuk suku ke-n tanpa memerlukan perhitungan iteratif.

Perhitungan Suku ke-5, ke-10, dan ke-20

Diberikan barisan aritmatika dengan a ₁ = 30 dan b =
5. Maka:

• Suku ke-5 (a ₅) = 30 + (5-1)5 = 40
• Suku ke-10 (a ₁₀) = 30 + (10-1)5 = 75
• Suku ke-20 (a ₂₀) = 30 + (20-1)5 = 125

Contoh Soal dan Penyelesaian

Sebuah barisan aritmatika memiliki suku pertama 12 dan beda 4. Tentukan suku ke-8 dari barisan tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui: a ₁ = 12, b = 4, n = 8

a ₈ = a ₁ + (8-1)b = 12 + (7)4 = 40

Jadi, suku ke-8 dari barisan aritmatika tersebut adalah 40.

Menentukan Beda Barisan Aritmatika

Setelah mengetahui suku pertama suatu barisan aritmatika, langkah selanjutnya adalah menentukan beda (b) antar suku. Beda ini merupakan kunci untuk memahami pola dan memprediksi suku-suku selanjutnya dalam barisan tersebut. Memahami cara menentukan beda sangat penting dalam menyelesaikan berbagai permasalahan yang berkaitan dengan barisan aritmatika, mulai dari mencari suku ke-n hingga menghitung jumlah suku.

Menentukan Beda dari Dua Suku Berurutan

Cara paling sederhana untuk menentukan beda (b) adalah dengan mengurangkan suku pertama dari suku kedua. Beda ini akan konstan untuk setiap pasangan suku berurutan dalam barisan aritmatika. Sebagai contoh, jika suku pertama (a ₁) adalah 5 dan suku kedua (a ₂) adalah 8, maka beda (b) adalah 8 – 5 = 3.

Menentukan Beda dari Beberapa Suku

Jika diketahui beberapa suku dalam barisan aritmatika, beda dapat ditentukan dengan mengurangkan dua suku berurutan. Konsistensi beda antar pasangan suku merupakan ciri khas barisan aritmatika. Misalnya, dalam barisan 2, 5, 8, 11, …, beda dapat ditentukan dengan menghitung 5 – 2 = 3, 8 – 5 = 3, atau 11 – 8 = 3. Dari perhitungan tersebut, terlihat jelas bahwa beda barisan ini adalah 3.

Sebagai contoh soal, perhatikan barisan aritmatika: 10, 16, 22, 28, … Untuk menentukan beda, kita dapat memilih dua suku berurutan, misalnya 16 dan
10. Beda (b) = 16 – 10 =
6. Kita bisa memverifikasi ini dengan pasangan suku lainnya: 22 – 16 = 6, dan 28 – 22 = 6. Jadi, beda barisan aritmatika ini adalah 6.

Menentukan Beda dari Suku Pertama dan Suku ke-n

Beda juga dapat ditentukan jika diketahui suku pertama (a ₁) dan suku ke-n (a _n), serta nilai n. Rumus umum suku ke-n barisan aritmatika adalah a _n = a ₁ + (n-1)b. Dengan sedikit manipulasi aljabar, kita dapat memperoleh rumus untuk menentukan beda: b = (a _n
-a ₁) / (n – 1).

Misalnya, jika suku pertama (a ₁) adalah 2, suku ke-5 (a ₅) adalah 12, maka beda (b) dapat dihitung sebagai berikut: b = (12 – 2) / (5 – 1) = 10 / 4 = 2.5

Langkah-langkah Sistematis Menentukan Beda Barisan Aritmatika, Diketahui suku pertama suatu barisan aritmatika adalah 30

1. Identifikasi dua suku berurutan dalam barisan aritmatika.
2. Kurangkan suku pertama dari suku kedua.
3. Hasil pengurangan tersebut adalah beda (b) barisan aritmatika.
4. Verifikasi beda dengan mengurangkan pasangan suku berurutan lainnya. Jika hasilnya konsisten, maka beda tersebut sudah benar.
5. Jika hanya diketahui suku pertama dan suku ke-n, gunakan rumus b = (a_n
   

   a₁) / (n – 1).

Jumlah n Suku Pertama Barisan Aritmatika: Diketahui Suku Pertama Suatu Barisan Aritmatika Adalah 30

Barisan aritmatika merupakan barisan bilangan yang memiliki selisih tetap antara dua suku berurutan. Mengetahui jumlah n suku pertama barisan aritmatika sangat penting dalam berbagai aplikasi, mulai dari perhitungan keuangan hingga perencanaan proyek. Artikel ini akan membahas rumus, variabel, dan contoh perhitungan jumlah n suku pertama barisan aritmatika.

Rumus untuk menghitung jumlah n suku pertama barisan aritmatika didapatkan dari pola penjumlahan suku-suku tersebut. Dengan memahami rumus ini, kita dapat menghitung jumlah suku-suku dengan efisien, tanpa harus menjumlahkan setiap suku satu per satu, terutama jika jumlah suku (n) cukup besar.

Rumus Jumlah n Suku Pertama

Rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika adalah:

S_n = n/2 [2a + (n-1)b]

di mana:

• S _n adalah jumlah n suku pertama.
• n adalah banyaknya suku.
• a adalah suku pertama.
• b adalah beda (selisih antara dua suku berurutan).

Contoh Perhitungan Jumlah n Suku Pertama

Mari kita terapkan rumus tersebut pada beberapa contoh. Dengan memahami contoh-contoh ini, kita akan lebih mudah mengaplikasikan rumus dalam berbagai situasi.

1. Contoh 1: Hitung jumlah 5 suku pertama barisan aritmatika dengan suku pertama a = 2 dan beda b =
   

   Substitusikan nilai a = 2, b = 3, dan n = 5 ke dalam rumus:

   S ₅ = 5/2 [2(2) + (5-1)3] = 5/2 [4 + 12] = 5/2 (16) = 40

   Jadi, jumlah 5 suku pertama adalah 40.

2. Contoh 2: Hitung jumlah 10 suku pertama barisan aritmatika dengan suku pertama a = 5 dan beda b = –
   

   Substitusikan nilai a = 5, b = -1, dan n = 10 ke dalam rumus:

   S ₁₀ = 10/2 [2(5) + (10-1)(-1)] = 5 [10 – 9] = 5(1) = 5

   Jadi, jumlah 10 suku pertama adalah 5.

Jumlah 10 Suku Pertama Barisan Aritmatika dengan a = 30 dan b = 2

Berdasarkan soal yang diberikan, kita akan menghitung jumlah 10 suku pertama barisan aritmatika dengan suku pertama a = 30 dan beda b =
2. Dengan menggunakan rumus yang telah dijelaskan, perhitungannya adalah sebagai berikut:

S ₁₀ = 10/2 [2(30) + (10-1)2] = 5 [60 + 18] = 5 (78) = 390

Jadi, jumlah 10 suku pertama barisan aritmatika tersebut adalah 390.

Aplikasi Rumus Jumlah n Suku Pertama dalam Kehidupan Sehari-hari

Rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika memiliki aplikasi luas dalam kehidupan sehari-hari, misalnya dalam menghitung total tabungan jika setiap bulan kita menabung dengan jumlah yang tetap bertambah (membentuk barisan aritmatika), atau menghitung total pendapatan seorang pekerja jika gajinya naik secara teratur setiap tahunnya. Rumus ini juga berguna dalam perencanaan proyek konstruksi, perhitungan pertumbuhan populasi dengan asumsi pertumbuhan yang konstan, dan masih banyak lagi.

Penerapan Barisan Aritmatika dalam Masalah Kontekstual

Barisan aritmatika, dengan pola penambahan atau pengurangan yang konstan, seringkali muncul dalam berbagai situasi kehidupan sehari-hari. Memahami konsep ini memungkinkan kita untuk menyelesaikan masalah kontekstual yang melibatkan pola pertumbuhan atau pengurangan yang teratur. Berikut beberapa contoh penerapannya, dimulai dengan premis bahwa suku pertama suatu barisan aritmatika adalah 30.

Contoh Masalah Kontekstual dan Penyelesaiannya

Misalkan seorang atlet berlatih lari dengan meningkatkan jarak tempuhnya setiap hari. Pada hari pertama, ia berlari sejauh 30 kilometer. Setiap hari berikutnya, ia menambah jarak tempuhnya sejauh 5 kilometer. Berapa jarak tempuh total yang telah ia lalui setelah 7 hari latihan?

Dalam kasus ini, suku pertama (a ₁) adalah 30 kilometer, dan beda (b) adalah 5 kilometer. Kita ingin mencari jumlah 7 suku pertama (S ₇). Rumus untuk jumlah n suku pertama barisan aritmatika adalah:

S_n = n/2 [2a ₁ + (n-1)b]

Dengan mensubstitusikan nilai-nilai yang diketahui, kita dapatkan:

S₇ = 7/2 [2(30) + (7-1)5] = 7/2 [60 + 30] = 7/2 (90) = 315

Jadi, atlet tersebut telah berlari sejauh 315 kilometer setelah 7 hari latihan.

Contoh Masalah Lain yang Melibatkan Barisan Aritmatika

Sebuah perusahaan menargetkan peningkatan penjualan setiap bulan. Pada bulan pertama, penjualan mencapai 30 juta rupiah. Jika peningkatan penjualan setiap bulan konsisten sebesar 2 juta rupiah, berapa total penjualan selama 6 bulan pertama?

Di sini, a ₁ = 30 juta rupiah, b = 2 juta rupiah, dan n = 6 bulan. Menggunakan rumus yang sama seperti di atas:

S₆ = 6/2 [2(30) + (6-1)2] = 3 [60 + 10] = 210 juta rupiah

Total penjualan selama 6 bulan pertama adalah 210 juta rupiah.

Menentukan Suku Pertama, Beda, dan Jumlah n Suku Pertama dari Masalah Kontekstual

Dalam kedua contoh di atas, suku pertama (a ₁) langsung diketahui dari permasalahan, yaitu 30 (kilometer atau juta rupiah). Beda (b) juga diketahui, yaitu peningkatan konstan setiap periode (5 kilometer atau 2 juta rupiah). Jumlah n suku pertama (S _n) dihitung menggunakan rumus yang telah dijelaskan, dengan mensubstitusikan nilai a ₁, b, dan n yang relevan.

Contoh Soal Cerita: Penambahan Uang Setiap Bulan

Setiap bulan, seorang anak menabung uangnya di celengan. Pada bulan pertama, ia menabung 30.000 rupiah. Setiap bulan berikutnya, ia menambah jumlah tabungannya sebesar 5.000 rupiah. Berapa total tabungannya setelah 12 bulan?

Dalam kasus ini, a ₁ = 30.000 rupiah, b = 5.000 rupiah, dan n = 12 bulan. Dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika:

S₁₂ = 12/2 [2(30.000) + (12-1)5.000] = 6 [60.000 + 55.000] = 6(115.000) = 690.000 rupiah

Total tabungan anak tersebut setelah 12 bulan adalah 690.000 rupiah.

Ringkasan Terakhir

Angka 30, sebagai suku pertama barisan aritmatika, telah membawa kita pada perjalanan eksplorasi yang menarik. Dari pemahaman dasar tentang barisan aritmatika hingga aplikasi rumus dan penentuan beda, kita telah melihat bagaimana sebuah angka sederhana dapat menjadi kunci untuk mengungkap pola dan menyelesaikan permasalahan yang lebih kompleks. Kemampuan untuk mengaplikasikan konsep ini dalam konteks nyata semakin memperkaya pemahaman kita tentang matematika dan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari.